(1) 関数 $y = \sin x$ ($ \frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。 (2) 関数 $y = \sin x$ ($ \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sin x$ ($\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。

(2) 関数 $y = \sin x$ ($\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \sin x$ ($\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$) の定義域と値域を考える。

$x$の範囲は $\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$ である。これは $2\pi + \frac{\pi}{2} \le x \le 2\pi + \frac{\pi}{2}$ と表せる。

$y$の値域は $-1 \le y \le 1$ となる。

逆関数を求めるために、$x$と$y$を入れ替える。

$x = \sin y$ ($\frac{3}{2}\pi \le y \le \frac{5}{2}\pi$)

$y$について解く。$\sin y = x$ より $y = \arcsin x$ であるが、$\frac{3}{2}\pi \le y \le \frac{5}{2}\pi$ の範囲を考慮する必要がある。

$\frac{3}{2}\pi \le y \le \frac{5}{2}\pi$ は $\frac{\pi}{2} \le y - \pi \le \frac{3}{2}\pi$ となるので、

$\frac{3}{2}\pi \le y \le \frac{5}{2}\pi$の範囲で$\sin y = \sin(y-2\pi)$であり、$y-2\pi$は$-\frac{\pi}{2}$から$\frac{\pi}{2}$までの範囲で対応する。

すなわち、$y=2\pi + \arcsin x$。

定義域と値域も入れ替える必要があるので、定義域は $-1 \le x \le 1$、値域は $\frac{3}{2}\pi \le y \le \frac{5}{2}\pi$となる。

(2)

$y = \sin x$ ($\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$) の定義域と値域を考える。

$x$の範囲は $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ である。

$y$の値域は $-1 \le y \le 1$ となる。

逆関数を求めるために、$x$と$y$を入れ替える。

$x = \sin y$ ($\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{3}{2}\pi$)

$y$について解く。$\sin y = x$ より $y = \arcsin x$ であるが、$\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{3}{2}\pi$ の範囲を考慮する必要がある。

$\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{3}{2}\pi$の範囲において、$y$は$\frac{\pi}{2}$を中心にして対称である。$z=y-\frac{\pi}{2}$とすると$0 \le z \le \pi$となる。

$\sin y = \sin(z+\frac{\pi}{2}) = \cos z$。また、$\cos z = x$より$z = \arccos x$。従って、$y = z + \frac{\pi}{2} = \arccos x + \frac{\pi}{2}$。

定義域と値域も入れ替える必要があるので、定義域は $-1 \le x \le 1$、値域は $\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{3}{2}\pi$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2\pi + \arcsin x$ ($-1 \le x \le 1$)

(2) $y = \arccos x + \frac{\pi}{2}$ ($-1 \le x \le 1$)