与えられた関数 $y$ を微分する問題です。 (1) $y = (x^2-x) \log(x-1)$ (2) $y = (\log x+3)(\log x-2)$ (3) $y = \frac{x^2+2}{\log x}$ (4) $y = \frac{\log x-2}{\log x+2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。

(1) $y = (x^2-x) \log(x-1)$

(2) $y = (\log x+3)(\log x-2)$

(3) $y = \frac{x^2+2}{\log x}$

(4) $y = \frac{\log x-2}{\log x+2}$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 - x$, $v = \log(x-1)$ とすると、

$u' = 2x - 1$, $v' = \frac{1}{x-1}$ となります。

したがって、

$y' = (2x-1)\log(x-1) + (x^2-x) \frac{1}{x-1} = (2x-1)\log(x-1) + x$

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \log x + 3$, $v = \log x - 2$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$y' = \frac{1}{x} (\log x - 2) + (\log x + 3) \frac{1}{x} = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2 + 2$, $v = \log x$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$y' = \frac{2x \log x - (x^2+2) \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{2x^2 \log x - x^2 - 2}{x(\log x)^2}$

(4) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \log x - 2$, $v = \log x + 2$ とすると、

$u' = \frac{1}{x}$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{x}(\log x + 2) - (\log x - 2) \frac{1}{x}}{(\log x + 2)^2} = \frac{\log x + 2 - \log x + 2}{x(\log x + 2)^2} = \frac{4}{x(\log x + 2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (2x-1)\log(x-1) + x$

(2) $y' = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y' = \frac{2x^2 \log x - x^2 - 2}{x(\log x)^2}$

(4) $y' = \frac{4}{x(\log x + 2)^2}$