$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(3x)}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(3x)}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を使用できます。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形が不定形（$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$）である場合に適用できます。

この問題では、$x \to 0$ のとき、$\tan^{-1}(3x) \to 0$ であり、$x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理により、

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

この場合、$f(x) = \tan^{-1}(3x)$、$g(x) = x$ とします。

$f'(x) = \frac{d}{dx} \tan^{-1}(3x) = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$

$g'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+9x^2}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{1+9x^2}$$

$x \to 0$ のとき、$1+9x^2 \to 1$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{3}{1+9x^2} = \frac{3}{1+9(0)^2} = \frac{3}{1} = 3$$

3. 最終的な答え

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