与えられた集合について、上に有界ならば上限を、下に有界ならば下限を求める問題です。ただし、$a$、$b$は実数で、$a < b$とします。

1. 問題の内容

与えられた集合について、上に有界ならば上限を、下に有界ならば下限を求める問題です。ただし、$a$、$b$は実数で、$a < b$とします。

2. 解き方の手順

(1) 閉区間$[a, b]$：

閉区間$[a, b]$は、$a$以上$b$以下のすべての実数を含みます。

したがって、下限は$a$であり、上限は$b$です。

(2) 開区間$(a, b)$：

開区間$(a, b)$は、$a$より大きく$b$より小さいすべての実数を含みます。

したがって、下限は$a$であり、上限は$b$です。

(3) 区間$[a, \infty)$：

区間$[a, \infty)$は、$a$以上のすべての実数を含みます。

したがって、下限は$a$であり、上限は存在しません（上に有界ではありません）。

(4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のとりうる値：

$y = -x^2 + 2x + 3$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x - 1)^2 + 4$

したがって、$y$の最大値は$4$であり、上限は$4$です。また、$x$が任意の実数をとるので、$y$はいくらでも小さい値を取ることができます。そのため、下限は存在しません（下に有界ではありません）。

(5) 関数 $y = x^3 - 1$ のとりうる値：

$x$が任意の実数をとるので、$y = x^3 - 1$ はいくらでも大きい値をとることができ、またいくらでも小さい値を取ることができます。

したがって、上限も下限も存在しません（上に有界でも下に有界でもありません）。

3. 最終的な答え

(1) 閉区間$[a, b]$：

* 下限：$a$

* 上限：$b$

(2) 開区間$(a, b)$：

* 下限：$a$

* 上限：$b$

(3) 区間$[a, \infty)$：

* 下限：$a$

* 上限：なし

(4) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のとりうる値：

* 下限：なし

* 上限：$4$

(5) 関数 $y = x^3 - 1$ のとりうる値：

* 下限：なし

* 上限：なし