$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}$ を計算する問題です。ここで $\sin^{-1} x$ は逆正弦関数（arcsin）を表します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x}$ を計算する問題です。ここで $\sin^{-1} x$ は逆正弦関数（arcsin）を表します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を使用します。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形の極限が不定形 ($\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$) である場合に適用できます。この場合、$x \to 0$ のとき $\sin^{-1} x \to 0$ であり、$2x \to 0$ であるため、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ であり、$2x$ の微分は $2$ です。したがって、ロピタルの定理を適用すると、次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)}{\frac{d}{dx}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{2}$

$x \to 0$ のとき $\sqrt{1 - x^2} \to \sqrt{1 - 0^2} = 1$ であるため、次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{2} = \frac{\frac{1}{1}}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$