関数 $y = \sin x$ (ただし、$\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x$ (ただし、$\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$) の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \sin y$

次に、$y$ について解きます。ここで、与えられた範囲 $\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$ に注意が必要です。$\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$ の時、$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間のすべての値を取ります。

$y = \arcsin x$ と書けますが、この関数の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ です。

$x$ の範囲が $\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$ であることから、$x$ を $\frac{3}{2}\pi$ から $\frac{5}{2}\pi$ に置き換える必要があります。$\frac{3}{2}\pi \le x \le \frac{5}{2}\pi$ の範囲において、$y = \sin x$ は $x = \frac{3}{2}\pi$ で $y = -1$ となり、$x = \frac{5}{2}\pi$ で $y = 1$ となります。この範囲における $\sin x$ は $-1$ から $1$ までの値をすべて取るため、逆関数が存在します。

$\arcsin x$ は $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にあります。

$x$ の範囲から、$y$ は $\frac{3\pi}{2}$ から $\frac{5\pi}{2}$ まで変化する必要があるため、$y = \arcsin x + 2\pi$ とすると、

$\frac{3\pi}{2} \le \arcsin x + 2\pi \le \frac{5\pi}{2}$ となります。この式を変形すると、

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ となります。

$\frac{3\pi}{2} \le y \le \frac{5\pi}{2}$ という範囲を考慮すると、

$y = \arcsin x + 2\pi$ が逆関数となります。

3. 最終的な答え

$y = \arcsin x + 2\pi$