* 問題3：次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。 * (1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ * (2) $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$ * (3) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ * 問題4：$a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1} (n \geq 2)$ で定まる数列が 3 に収束することを、$\epsilon - N$ 論法を用いて示せ。

## 問題の回答

与えられた画像には、いくつかの数学の問題が含まれています。ここでは、3番の問題の(1)から(3)と、4番の問題を解きます。

1. **問題の内容**

* 問題3：次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。

* (1) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

* (2) $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$

* (3) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

* 問題4：$a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1} (n \geq 2)$ で定まる数列が 3 に収束することを、$\epsilon - N$ 論法を用いて示せ。

2. **解き方の手順**

* 問題3(1): $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

分母を有理化します。

$a_n = (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$。

したがって、$a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$。

* 問題3(2): $a_n = (\frac{n}{n+2})^n$

$a_n = (\frac{n}{n+2})^n = (\frac{n+2-2}{n+2})^n = (1 - \frac{2}{n+2})^n$

ここで、$(1 + \frac{x}{n})^n \to e^x (n \to \infty)$ を利用するために、式を変形します。

$a_n = (1 - \frac{2}{n+2})^n = (1 - \frac{2}{n+2})^{n+2-2} = (1 - \frac{2}{n+2})^{n+2} (1 - \frac{2}{n+2})^{-2}$

$n \to \infty$ のとき、$(1 - \frac{2}{n+2})^{n+2} \to e^{-2}$ であり、$(1 - \frac{2}{n+2})^{-2} \to 1$ なので、

$a_n \to e^{-2} \cdot 1 = e^{-2}$。

* 問題3(3): $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

既知の極限 $(1 + \frac{x}{n})^n \to e^x (n \to \infty)$ を使うと、

$a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ において、$x = -1$ とすればよい。

よって、$a_n \to e^{-1} = \frac{1}{e}$。

* 問題4: $a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1} (n \geq 2)$ が 3 に収束することを $\epsilon - N$ 論法で示す。

まず、$|a_n - 3|$ を計算する。

$|a_n - 3| = |\frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1} - 3| = |\frac{3n^2 + 2n - 1 - 3(n^2 - 1)}{n^2 - 1}| = |\frac{2n + 2}{n^2 - 1}| = |\frac{2(n + 1)}{(n - 1)(n + 1)}| = \frac{2}{n - 1}$

任意の $\epsilon > 0$ に対して、$|\frac{2}{n - 1}| < \epsilon$ となるような $N$ を見つけたい。

$\frac{2}{n - 1} < \epsilon$ を解くと、$n - 1 > \frac{2}{\epsilon}$ より、$n > \frac{2}{\epsilon} + 1$ となる。

したがって、$N = [\frac{2}{\epsilon} + 1]$ (ガウス記号) とすれば、$n > N$ ならば $|a_n - 3| < \epsilon$ が成り立つ。

($n \geq 2$ より $n-1 > 0$ なので絶対値を外せます。)

よって、数列 $a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1}$ は 3 に収束する。

3. **最終的な答え**

* 問題3(1): 0

* 問題3(2): $e^{-2}$

* 問題3(3): $\frac{1}{e}$

* 問題4：数列 $a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 1}$ は 3 に収束する (証明は上記参照)。