パラメータ表示された関数 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

パラメータ表示された関数 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = 3 \cos^2 t (-\sin t) = -3 \cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3 \sin^2 t (\cos t) = 3 \sin^2 t \cos t$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \sin^2 t \cos t}{-3 \cos^2 t \sin t} = - \frac{\sin t}{\cos t} = - \tan t$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (-\tan t) = \frac{d(-\tan t)/dt}{dx/dt}$

$\frac{d(-\tan t)}{dt} = - \sec^2 t$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{- \sec^2 t}{-3 \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3 \cos^4 t \sin t}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\tan t$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3 \cos^4 t \sin t}$