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与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。 (1) $\sin^2 3x$ を半角の公式を用いて $A \sin Bx$ の形に変形し、$A$と$B$の値を求める。 (2) $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ を微分し、結果を $\frac{1}{\sqrt{1-x^2} (C)}$の形に変形し、$C$を求める。 (3) $\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a}$ を微分し、結果を $\frac{1}{DE + FG}$の形に変形し、$D, E, F, G$を求める（変数の順はアルファベット順とする）。

解析学微分三角関数対数関数逆三角関数
2025/5/21

1. 問題の内容

与えられた関数を微分し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の3つの問題を解く必要があります。
(1) sin⁡23x\sin^2 3x を半角の公式を用いて Asin⁡BxA \sin Bx の形に変形し、AAとBBの値を求める。
(2) 1+x1−x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} を微分し、結果を 11−x2(C)\frac{1}{\sqrt{1-x^2} (C)}の形に変形し、CCを求める。
(3) 1atan⁡−1xa\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} を微分し、結果を 1DE+FG\frac{1}{DE + FG}の形に変形し、D,E,F,GD, E, F, Gを求める（変数の順はアルファベット順とする）。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡23x\sin^2 3x の変形
半角の公式 sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} を用います。
sin⁡23x=1−cos⁡6x2=12−12cos⁡6x\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 6x
問題文の形式に合わせるため、Asin⁡BxA \sin Bx の形にする必要がありますが、Asin⁡BxA \sin Bxの形にすることはできません。しかし、sin⁡23x\sin^2 3x を単純に半角の公式で変形した結果をそのまま答えるという意図と解釈し、sin⁡23x=12(1−cos⁡6x)\sin^2 3x = \frac{1}{2}(1 - \cos 6x)とします。
sin⁡23x=A(1−cos⁡Bx)\sin^2 3x = A (1 - \cos Bx)と考えることにすると、A=12,B=6A = \frac{1}{2}, B = 6となります。
(2) 1+x1−x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} の微分
y=1+x1−xy = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} とおきます。両辺の対数をとると
ln⁡y=12ln⁡1+x1−x=12(ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x))\ln y = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{2} (\ln(1+x) - \ln(1-x))
両辺を xx で微分すると
1ydydx=12(11+x+11−x)=12(1−x+1+x(1+x)(1−x))=12(21−x2)=11−x2\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{1-x^2} \right) = \frac{1}{1-x^2}
したがって
dydx=y11−x2=1+x1−x11−x2=1+x1−x(1−x2)=1+x1−x(1−x)1−x2=1+x1−x(1−x)(1−x)(1+x)=1(1−x)1−x2\frac{dy}{dx} = y \frac{1}{1-x^2} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \frac{1}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}(1-x^2)} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}(1-x)\sqrt{1-x^2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}(1-x)\sqrt{(1-x)(1+x)}} = \frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}
与えられた形式 11−x2(C)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(C)} に合わせると、C=1−xC = 1-x となります。
(3) 1atan⁡−1xa\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} の微分
ddx(1atan⁡−1xa)=1a⋅11+(xa)2⋅1a=1a2⋅11+x2a2=1a2⋅a2a2+x2=1a2+x2\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a^2 + x^2}
与えられた形式 1DE+FG\frac{1}{DE+FG} に合わせることを考えると、D=a,E=a,F=x,G=xD = a, E = a, F = x, G = x となります。

3. 最終的な答え

A: 1/2
B: 6
C: 1-x
D: a
E: a
F: x
G: x

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