次の2つの不定積分を計算します。 4) $\int 2e^x \cos^2 x dx$ 5) $\int \arctan(3x) dx$ ただし、$\arctan(3x)$は$\tan^{-1}(3x)$のことです。

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を計算します。

4) $\int 2e^x \cos^2 x dx$

5) $\int \arctan(3x) dx$ ただし、$\arctan(3x)$は$\tan^{-1}(3x)$のことです。

2. 解き方の手順

4) $\int 2e^x \cos^2 x dx$

まず、$\cos^2 x$を倍角の公式を用いて変換します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、

$\int 2e^x \cos^2 x dx = \int 2e^x \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) dx = \int e^x (1 + \cos 2x) dx = \int e^x dx + \int e^x \cos 2x dx$

ここで、$I = \int e^x \cos 2x dx$を計算します。部分積分を2回用います。

$I = \int e^x \cos 2x dx = e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) dx = e^x \cos 2x + 2\int e^x \sin 2x dx$

$I = e^x \cos 2x + 2(e^x \sin 2x - \int e^x (2\cos 2x) dx) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4 \int e^x \cos 2x dx = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I$

$5I = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x$

$I = \frac{1}{5}e^x (\cos 2x + 2\sin 2x)$

したがって、

$\int 2e^x \cos^2 x dx = \int e^x dx + \int e^x \cos 2x dx = e^x + \frac{1}{5}e^x (\cos 2x + 2\sin 2x) + C = e^x \left(1 + \frac{1}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x)\right) + C$

5) $\int \arctan(3x) dx$

部分積分を用います。$u = \arctan(3x)$, $dv = dx$とおくと、$du = \frac{3}{1 + (3x)^2} dx = \frac{3}{1 + 9x^2} dx$, $v = x$

$\int \arctan(3x) dx = x\arctan(3x) - \int x \frac{3}{1 + 9x^2} dx = x\arctan(3x) - 3\int \frac{x}{1 + 9x^2} dx$

ここで、$I = \int \frac{x}{1 + 9x^2} dx$を計算します。$u = 1 + 9x^2$とおくと、$du = 18x dx$, $x dx = \frac{1}{18} du$

$I = \int \frac{1}{u} \frac{1}{18} du = \frac{1}{18} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{18} \ln |u| + C = \frac{1}{18} \ln (1 + 9x^2) + C$

したがって、

$\int \arctan(3x) dx = x\arctan(3x) - 3 \left(\frac{1}{18} \ln (1 + 9x^2)\right) + C = x\arctan(3x) - \frac{1}{6} \ln (1 + 9x^2) + C$

3. 最終的な答え

4) $\int 2e^x \cos^2 x dx = e^x \left(1 + \frac{1}{5} (\cos 2x + 2\sin 2x)\right) + C$

5) $\int \arctan(3x) dx = x\arctan(3x) - \frac{1}{6} \ln (1 + 9x^2) + C$