$a_n > 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ であることを $\epsilon - N$ 論法で示す。ただし、$\lim_{n \to \infty} a_n$ の存在は仮定しない。

以下に、画像にある問題7と問題9の解答を示します。

**問題7**

1. 問題の内容

$a_n > 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ であることを $\epsilon - N$ 論法で示す。ただし、$\lim_{n \to \infty} a_n$ の存在は仮定しない。

2. 解き方の手順

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r < 1$ であるから、$r < r' < 1$ なる $r'$ を任意に取る。このとき、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geq N$ ならば $|\frac{a_{n+1}}{a_n} - r| < r' - r$。

したがって、

$$r - (r' - r) < \frac{a_{n+1}}{a_n} < r + (r' - r)$$

$$2r - r' < \frac{a_{n+1}}{a_n} < r'$$

$n \geq N$ ならば、$\frac{a_{n+1}}{a_n} < r'$ であるから、$a_{n+1} < r' a_n$。したがって、$a_{N+k} < (r')^k a_N$。

任意の $\epsilon > 0$ に対して、$N'$ を $(r')^{N'} a_N < \epsilon$ となるように選ぶ。すると、$n > N+N'$ ならば $a_n < (r')^{n-N} a_N < (r')^{N'}a_N < \epsilon$。

よって、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ である。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

**問題9**

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $|a_{n+2} - a_{n+1}| \le k |a_{n+1} - a_n|$ ($0 < k < 1$, $n=1, 2, \dots$) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ がコーシー列をなすことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$|a_{n+1} - a_n| \le k^{n-1} |a_2 - a_1|$ が成り立つことを示す。

これは、$n=1$ のときは明らかに成り立つ。

$n=m$ のとき $|a_{m+1} - a_m| \le k^{m-1} |a_2 - a_1|$ が成り立つと仮定すると、

$|a_{m+2} - a_{m+1}| \le k |a_{m+1} - a_m| \le k \cdot k^{m-1} |a_2 - a_1| = k^m |a_2 - a_1|$ となり、$n=m+1$ のときも成り立つ。

したがって、数学的帰納法より、$|a_{n+1} - a_n| \le k^{n-1} |a_2 - a_1|$ が成り立つ。

次に、$m > n$ なる任意の $m, n$ に対して、$|a_m - a_n| \le \frac{k^{n-1}}{1-k} |a_2 - a_1|$ を示す。

$|a_m - a_n| = |(a_m - a_{m-1}) + (a_{m-1} - a_{m-2}) + \dots + (a_{n+1} - a_n)| \le |a_m - a_{m-1}| + |a_{m-1} - a_{m-2}| + \dots + |a_{n+1} - a_n|$

$\le k^{m-2} |a_2 - a_1| + k^{m-3} |a_2 - a_1| + \dots + k^{n-1} |a_2 - a_1| = (k^{n-1} + k^n + \dots + k^{m-2}) |a_2 - a_1| = k^{n-1} \frac{1-k^{m-n}}{1-k} |a_2 - a_1|$

$\le \frac{k^{n-1}}{1-k} |a_2 - a_1|$

任意の $\epsilon > 0$ に対して、$N$ を $\frac{k^{N-1}}{1-k} |a_2 - a_1| < \epsilon$ となるように選ぶ。

すると、$m, n > N$ ならば $|a_m - a_n| \le \frac{k^{n-1}}{1-k} |a_2 - a_1| < \epsilon$ となる。

よって、$\{a_n\}$ はコーシー列である。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ はコーシー列である。