$f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ と定義された関数 $f(x)$ について、曲線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。 (2) $b < 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積の和を $a, b$ を用いて表します。 (3) $b > 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるための $a, b$ の条件を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ と定義された関数 $f(x)$ について、曲線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a, b$ が満たすべき条件を求めます。

(2) $b < 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積の和を $a, b$ を用いて表します。

(3) $b > 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるための $a, b$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ が $x$ 軸と相異なる3点で交わる条件を求める。

$f(x) = x(x^2 + ax + b) = 0$ より、 $x = 0$ は一つの解である。

$x^2 + ax + b = 0$ が $x = 0$ 以外の相異なる2つの実数解を持てばよい。

判別式 $D = a^2 - 4b > 0$。

また、$x=0$を解に持たない条件より、$b \neq 0$。

したがって、$a^2 - 4b > 0$ かつ $b \neq 0$。

さらに、$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$ が相異なる2つの実数解を持つ必要があるので、

$D' = a^2 - 3b > 0$.

$a^2 > 4b$, $b \neq 0$, $a^2 > 3b$ より、$a^2 > 4b$ である。

したがって、$a^2 > 4b$ かつ $b \neq 0$ が必要十分条件である。

(2) $b < 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積の和を $a, b$ を用いて表す。

$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、

$\alpha + \beta = -a$, $\alpha \beta = b$。

面積の和 $S = \int_{\alpha}^{0} (x^3 + ax^2 + bx) dx - \int_{0}^{\beta} (x^3 + ax^2 + bx) dx$

$= [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_{\alpha}^{0} - [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2}]_{0}^{\beta}$

$= - (\frac{\alpha^4}{4} + \frac{a\alpha^3}{3} + \frac{b\alpha^2}{2}) - (\frac{\beta^4}{4} + \frac{a\beta^3}{3} + \frac{b\beta^2}{2})$

$= - \frac{1}{12}(3\alpha^4 + 4a\alpha^3 + 6b\alpha^2 + 3\beta^4 + 4a\beta^3 + 6b\beta^2)$

$= - \frac{1}{12} [3(\alpha^4 + \beta^4) + 4a(\alpha^3 + \beta^3) + 6b(\alpha^2 + \beta^2)]$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2 - 2b$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = -a^3 + 3ab$

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2\alpha^2\beta^2 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$

$S = - \frac{1}{12} [3(a^4 - 4a^2b + 2b^2) + 4a(-a^3 + 3ab) + 6b(a^2 - 2b)]$

$= - \frac{1}{12} [3a^4 - 12a^2b + 6b^2 - 4a^4 + 12a^2b + 6a^2b - 12b^2]$

$= - \frac{1}{12} [-a^4 + 6a^2b - 6b^2]$

$= \frac{1}{12}(a^4 - 6a^2b + 6b^2)$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = a^2 - 4b$ より $\beta - \alpha = \sqrt{a^2-4b}$.

$S = \frac{1}{12} | \beta - \alpha |^5 = \frac{1}{12} (\sqrt{a^2-4b})^5$

(3) $b > 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるための $a, b$ の条件を求めます。

$\int_{\alpha}^{0} (x^3 + ax^2 + bx) dx = \int_{0}^{\beta} (x^3 + ax^2 + bx) dx$

$\frac{\alpha^4}{4} + \frac{a\alpha^3}{3} + \frac{b\alpha^2}{2} = \frac{\beta^4}{4} + \frac{a\beta^3}{3} + \frac{b\beta^2}{2}$

$\frac{\alpha^4 - \beta^4}{4} + \frac{a(\alpha^3 - \beta^3)}{3} + \frac{b(\alpha^2 - \beta^2)}{2} = 0$

$(\alpha^2 - \beta^2) (\frac{\alpha^2 + \beta^2}{4} + \frac{a(\alpha + \beta)}{3} + \frac{b}{2}) = 0$

$\alpha \neq \beta$ より、

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{4} + \frac{a(\alpha + \beta)}{3} + \frac{b}{2} = 0$

$\frac{a^2 - 2b}{4} + \frac{a(-a)}{3} + \frac{b}{2} = 0$

$3(a^2 - 2b) - 4a^2 + 6b = 0$

$3a^2 - 6b - 4a^2 + 6b = 0$

$-a^2 = 0$

$a = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a^2 > 4b$ かつ $b \neq 0$

(2) $\frac{1}{12} (a^2 - 4b)^{\frac{5}{2}}$

(3) $a=0$