与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{3x^2+6x+4} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{3x^2+6x+4} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成させます。

$3x^2+6x+4 = 3(x^2+2x)+4 = 3(x^2+2x+1-1)+4 = 3((x+1)^2-1)+4 = 3(x+1)^2 - 3 + 4 = 3(x+1)^2 + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{3(x+1)^2+1} dx$

ここで、$u = \sqrt{3}(x+1)$ と置換すると、$du = \sqrt{3}dx$ となり、$dx = \frac{1}{\sqrt{3}}du$ となります。積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{3(x+1)^2+1} dx = \int \frac{1}{u^2+1} \frac{1}{\sqrt{3}}du = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{u^2+1} du$

$\int \frac{1}{u^2+1} du = \arctan(u) + C$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{u^2+1} du = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(u) + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\sqrt{3}(x+1)) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{3x^2+6x+4} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\sqrt{3}(x+1)) + C$