次の不定積分を計算します。 $\int xe^{-2x^2+1} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int xe^{-2x^2+1} dx$

2. 解き方の手順

この積分を計算するには、置換積分法を使用します。

$u = -2x^2+1$ と置くと、

$\frac{du}{dx} = -4x$ となり、

$du = -4x dx$ です。

したがって、$x dx = -\frac{1}{4} du$ となります。

元の積分を$u$で書き換えると、

$\int xe^{-2x^2+1} dx = \int e^u (-\frac{1}{4}) du$

$= -\frac{1}{4} \int e^u du$

$= -\frac{1}{4} e^u + C$

ここで、$u = -2x^2+1$ なので、

$= -\frac{1}{4} e^{-2x^2+1} + C$

3. 最終的な答え

$\int xe^{-2x^2+1} dx = -\frac{1}{4}e^{-2x^2+1} + C$