次の不定積分を求めます。 (1) $\int xe^x dx$ (2) $\int (x-1)\cos x dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int xe^x dx$

(2) $\int (x-1)\cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int xe^x dx$

部分積分法を用いて解きます。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

部分積分法の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ なので、

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $\int (x-1)\cos x dx$

これも部分積分法を用いて解きます。$u = x-1$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int (x-1)\cos x dx = (x-1)\sin x - \int \sin x dx = (x-1)\sin x - (-\cos x) + C = (x-1)\sin x + \cos x + C = x\sin x - \sin x + \cos x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^x dx = xe^x - e^x + C$

(2) $\int (x-1)\cos x dx = x\sin x - \sin x + \cos x + C$