与えられた3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$ (2) $\int x \log(1+x) dx$ (3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$

(2) $\int x \log(1+x) dx$

(3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^4}{x+1} dx$

まず、分子 $x^4$ を分母 $x+1$ で割ります。

$x^4 = (x+1)(x^3 - x^2 + x - 1) + 1$

したがって、

$\frac{x^4}{x+1} = x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1}$

積分すると、

$\int \frac{x^4}{x+1} dx = \int (x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{x+1}) dx$

$= \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + \log|x+1| + C$

(2) $\int x \log(1+x) dx$

部分積分を用います。$u = \log(1+x)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$.

$\int x \log(1+x) dx = \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \int \frac{x^2}{2(1+x)} dx$

$\int \frac{x^2}{1+x} dx = \int \frac{x^2-1+1}{x+1} dx = \int (x-1 + \frac{1}{x+1}) dx = \frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|$

$\int x \log(1+x) dx = \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|) + C$

$= \frac{x^2}{2} \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \log|1+x| + C$

$= \frac{x^2-1}{2} \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$

(3) $\int \frac{\cos x}{\cos^2 x + 2\sin x - 2} dx$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入すると、

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x + 2\sin x - 2} dx = \int \frac{\cos x}{-\sin^2 x + 2\sin x - 1} dx$

$= \int \frac{\cos x}{-(\sin x - 1)^2} dx$

$t = \sin x - 1$ と置くと、$dt = \cos x dx$

$\int \frac{\cos x}{-(\sin x - 1)^2} dx = \int \frac{1}{-t^2} dt = \int -t^{-2} dt = -(-t^{-1}) + C = \frac{1}{t} + C$

$= \frac{1}{\sin x - 1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x + \log|x+1| + C$

(2) $\frac{x^2-1}{2} \log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$

(3) $\frac{1}{\sin x - 1} + C$