$a$ を正の実数とします。関数 $f(x) = -\sqrt{2x+a}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。 (2) $y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の個数を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とします。関数 $f(x) = -\sqrt{2x+a}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

(2) $y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 逆関数の求め方

まず、$y = f(x) = -\sqrt{2x+a}$ とおきます。

逆関数を求めるために、$x$ について解きます。

$y = -\sqrt{2x+a}$ の両辺を2乗すると、

$y^2 = 2x+a$

$2x = y^2 - a$

$x = \frac{y^2 - a}{2}$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$f^{-1}(x) = \frac{x^2 - a}{2}$

ここで、$f(x)$ の定義域と値域を考えます。

$2x+a \geq 0$ より $x \geq -\frac{a}{2}$

また、$y = -\sqrt{2x+a} \leq 0$

したがって、$f^{-1}(x)$ の定義域は $x \leq 0$ となります。

(2) 共有点の個数の求め方

$y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフの共有点は、$y=f(x)$ のグラフと $y=x$ のグラフの共有点と同じです。

なぜならば、$f(x)$ と $f^{-1}(x)$ は $y=x$ に関して対称だからです。

$f(x) = x$ より、

$-\sqrt{2x+a} = x$

両辺を2乗すると、

$2x+a = x^2$

$x^2 - 2x - a = 0$

この2次方程式の解は、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4a}}{2} = 1 \pm \sqrt{1+a}$

$f(x)$ の値域が $y \leq 0$ なので、$x \leq 0$ でなければなりません。

$x = 1 + \sqrt{1+a}$ は明らかに正なので不適です。

$x = 1 - \sqrt{1+a}$ のとき、$x < 0$ です。

また、$-\sqrt{2x+a}=x$ の式において、2乗しているので、解の吟味が必要です。

$x = 1-\sqrt{1+a}$を$-\sqrt{2x+a} = x$に代入します。

$-\sqrt{2(1-\sqrt{1+a})+a} = 1-\sqrt{1+a}$

$-\sqrt{2-2\sqrt{1+a}+a} = 1-\sqrt{1+a}$

$1-\sqrt{1+a} \leq 0$ より、$1 \leq \sqrt{1+a}$ なので、$1 \leq 1+a$ より $a \geq 0$

$a$ は正の実数なのでこれは常に成り立ちます。

また、$x \geq -\frac{a}{2}$ より、$1-\sqrt{1+a} \geq -\frac{a}{2}$

$1 + \frac{a}{2} \geq \sqrt{1+a}$

両辺を2乗すると、

$1 + a + \frac{a^2}{4} \geq 1+a$

$\frac{a^2}{4} \geq 0$

これは常に成り立ちます。

したがって、$x = 1 - \sqrt{1+a}$ は解です。

共有点は1つです。

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{x^2 - a}{2}$ ($x \leq 0$)

(2) 1個