次の2つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{3x^2}{x^3+1} dx$ (2) $\int \frac{3x+2}{3x^2+4x+2} dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{3x^2}{x^3+1} dx$

(2) $\int \frac{3x+2}{3x^2+4x+2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3x^2}{x^3+1} dx$

$u = x^3 + 1$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{3x^2}{x^3+1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|x^3+1| + C$

(2) $\int \frac{3x+2}{3x^2+4x+2} dx$

$u = 3x^2 + 4x + 2$ と置換すると、$du = (6x+4) dx = 2(3x+2)dx$ となります。

したがって、 $(3x+2)dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{3x+2}{3x^2+4x+2} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|3x^2+4x+2| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{3x^2}{x^3+1} dx = \ln|x^3+1| + C$

(2) $\int \frac{3x+2}{3x^2+4x+2} dx = \frac{1}{2} \ln|3x^2+4x+2| + C$