与えられた4つの関数について、微分を計算する問題です。 (1) $y = (2x-1)^5$ (2) $y = \frac{2}{(x^2 - x + 1)^3}$ (3) $y = \sqrt{x^3 + 2}$ (4) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、微分を計算する問題です。

(1) $y = (2x-1)^5$

(2) $y = \frac{2}{(x^2 - x + 1)^3}$

(3) $y = \sqrt{x^3 + 2}$

(4) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を用います。$u = 2x - 1$ とおくと、$y = u^5$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて計算します。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = 5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4$

(2) $y = 2(x^2 - x + 1)^{-3}$ と書き換えます。$u = x^2 - x + 1$ とおくと、$y = 2u^{-3}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて計算します。

$\frac{dy}{du} = -6u^{-4}$

$\frac{du}{dx} = 2x - 1$

$\frac{dy}{dx} = -6(x^2 - x + 1)^{-4} \cdot (2x - 1) = \frac{-6(2x-1)}{(x^2-x+1)^4}$

(3) $y = (x^3 + 2)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。$u = x^3 + 2$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^3 + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+2}}$

(4) $y = 4(x^2 + x + 1)^{-\frac{1}{2}}$ と書き換えます。$u = x^2 + x + 1$ とおくと、$y = 4u^{-\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて計算します。

$\frac{dy}{du} = -2u^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = -2(x^2 + x + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x + 1) = \frac{-2(2x+1)}{(x^2+x+1)^{\frac{3}{2}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10(2x-1)^4$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-6(2x-1)}{(x^2-x+1)^4}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2(2x+1)}{(x^2+x+1)^{\frac{3}{2}}}$