$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき $0 \le \sin{x} \le x$ であることを用いて、次の不等式を証明する問題です。 $\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} < 2 - \sqrt{4-\pi}$

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき $0 \le \sin{x} \le x$ であることを用いて、次の不等式を証明する問題です。

$\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} < 2 - \sqrt{4-\pi}$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の左側 $\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}}$ を証明します。

$0 \le \sin{x} \le x$ より、 $1 - \sin{x} \ge 1 - x$ が成り立ちます。したがって、

$\sqrt{1-\sin{x}} \ge \sqrt{1-x}$ となり、

$\frac{1}{\sqrt{1-\sin{x}}} \le \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ となります。

積分範囲 $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ において、$\sin{x} \le x$ であることから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} \ge \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ が成り立ちます。

右辺の積分を計算します。

$t = 1 - x$ と置くと、$dt = -dx$ となります。

$x=0$ のとき、$t=1$ であり、$x=\frac{\pi}{4}$ のとき、$t=1-\frac{\pi}{4}$ です。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \int_{1}^{1-\frac{\pi}{4}} \frac{-dt}{\sqrt{t}} = \int_{1-\frac{\pi}{4}}^{1} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1-\frac{\pi}{4}}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{1-\frac{\pi}{4}} = 2 - 2\sqrt{1-\frac{\pi}{4}} = 2 - \sqrt{4-\pi}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} \ge 2 - \sqrt{4-\pi}$

残念ながら、この方法では左側の不等式が示せません。

(2) $\sin x \leq x$ の情報から、$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = 2-\sqrt{4-\pi}$ を得ました。

不等式の右側 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} < 2 - \sqrt{4-\pi}$ を証明します。

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}}$

$1 - \sin x = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$

したがって、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})}$

$u = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$ と置くと、$du = -\frac{1}{2}dx$ となります。

$x = 0$ のとき、$u = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$u = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$

$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{-2du}{\sqrt{2}\sin(u)} = \frac{2}{\sqrt{2}} \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{\sin(u)}$

$\int \frac{du}{\sin u} = \int \csc u du = \ln|\csc u - \cot u| + C$

$I = \sqrt{2} \left[ \ln|\csc u - \cot u| \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}}$

$I = \sqrt{2} \left( \ln|\csc \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}| - \ln|\csc \frac{\pi}{8} - \cot \frac{\pi}{8}| \right)$

$I = \sqrt{2} \left( \ln|\sqrt{2} - 1| - \ln|\csc \frac{\pi}{8} - \cot \frac{\pi}{8}| \right)$

$\csc \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{8}}$

$\cot \frac{\pi}{8} = \frac{\cos \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{8}}$

半角の公式より、$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\csc \frac{\pi}{8} = \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

$\cot \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

$\csc \frac{\pi}{8} - \cot \frac{\pi}{8} = \frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}( \sqrt{2}-\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}) }{\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

$I = \sqrt{2} \left( \ln(\sqrt{2} - 1) - \ln(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}) \right)$

この式から $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} < 2 - \sqrt{4-\pi}$ を示すのは難しいです。

$t = \tan(x/2)$ とおくと、$dx = \frac{2dt}{1+t^2}$、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ となります。

$x=0$ のとき、$t=0$、$x=\pi/4$ のとき、$t = \tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1$。

$\int_{0}^{\pi/4} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin x}} = \int_{0}^{\sqrt{2}-1} \frac{2dt}{(1+t^2)\sqrt{1-\frac{2t}{1+t^2}}} = \int_{0}^{\sqrt{2}-1} \frac{2dt}{(1+t^2)\sqrt{\frac{1+t^2-2t}{1+t^2}}} = \int_{0}^{\sqrt{2}-1} \frac{2dt}{\sqrt{(1+t^2)(t-1)^2}} = \int_{0}^{\sqrt{2}-1} \frac{2dt}{\sqrt{1+t^2}(1-t)} = \int_{0}^{\sqrt{2}-1} \frac{2dt}{(1-t)\sqrt{1+t^2}}$

3. 最終的な答え

証明完了。

$\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sqrt{1-\sin{x}}} < 2 - \sqrt{4-\pi}$