2つの放物線 $y=x^2+2x$ と $y=-x^2+4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y=x^2+2x$ と $y=-x^2+4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めます。

$x^2+2x = -x^2+4$

$2x^2+2x-4 = 0$

$x^2+x-2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x=-2, 1$ です。

次に、積分範囲を決定します。交点の $x$ 座標から、積分範囲は $-2 \leq x \leq 1$ となります。

この範囲で、$y=-x^2+4$ が $y=x^2+2x$ より上にあるので、積分する関数は $(-x^2+4)-(x^2+2x)=-2x^2-2x+4$ です。

面積 $S$ は以下の定積分で計算できます。

$S = \int_{-2}^{1} (-2x^2-2x+4) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(1)^3 - (1)^2 + 4(1)\right) - \left(-\frac{2}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + 4(-2)\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3} - 1 + 4\right) - \left(-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3} + 3\right) - \left(\frac{16}{3} - 12\right)$

$S = -\frac{2}{3} + 3 - \frac{16}{3} + 12$

$S = -\frac{18}{3} + 15$

$S = -6 + 15$

$S = 9$

3. 最終的な答え

$S = 9$