与えられた4つの関数が、全ての実数で連続となるように、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数が、全ての実数で連続となるように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

関数が連続であるためには、定義されていない点における極限値と、その点での関数値が一致する必要がある。

(1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+x}{x} & (x \ne 0) \\ a & (x=0) \end{cases}$

$x \ne 0$ のとき、$f(x) = \frac{x^3+x}{x} = x^2 + 1$ である。

$x=0$ で連続となるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ となる必要がある。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$

$f(0) = a$

よって、$a = 1$

(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-x-2}{x-2} & (x \ne 2) \\ a & (x=2) \end{cases}$

$x \ne 2$ のとき、$f(x) = \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1$ である。

$x=2$ で連続となるためには、$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ となる必要がある。

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+1) = 2+1 = 3$

$f(2) = a$

よって、$a = 3$

(3) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+8}{x+2} & (x \ne -2) \\ a & (x=-2) \end{cases}$

$x \ne -2$ のとき、$f(x) = \frac{x^3+8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2} = x^2 - 2x + 4$ である。

$x=-2$ で連続となるためには、$\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2)$ となる必要がある。

$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

$f(-2) = a$

よって、$a = 12$

(4) $f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & (x \ne 1) \\ a & (x=1) \end{cases}$

$x \ne 1$ のとき、$f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$ である。

$x=1$ で連続となるためには、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ となる必要がある。

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x}+1) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

$f(1) = a$

よって、$a = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $a = 3$

(3) $a = 12$

(4) $a = 2$