関数 $y = 2(\log_2 x)^2 + 4\log_{\frac{1}{4}}(2x) + \log_2 64$ について、$1 \leq x \leq 4$ の範囲で、この関数を簡略化し、その範囲内での最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2(\log_2 x)^2 + 4\log_{\frac{1}{4}}(2x) + \log_2 64$ について、$1 \leq x \leq 4$ の範囲で、この関数を簡略化し、その範囲内での最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡略化します。

$\log_{\frac{1}{4}}(2x)$ を対数の底の変換公式を用いて底を2に変換します。

$\log_{\frac{1}{4}}(2x) = \frac{\log_2 (2x)}{\log_2 (\frac{1}{4})} = \frac{\log_2 (2x)}{\log_2 (2^{-2})} = \frac{\log_2 (2x)}{-2} = -\frac{1}{2}\log_2 (2x)$

また、$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

与えられた関数を書き換えます。

$y = 2(\log_2 x)^2 + 4(-\frac{1}{2}\log_2 (2x)) + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2\log_2 (2x) + 6$

$\log_2 (2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$

$y = 2(\log_2 x)^2 - 2(1 + \log_2 x) + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2 - 2\log_2 x + 6 = 2(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 4$

ここで、$t = \log_2 x$ と置きます。$1 \leq x \leq 4$ より、$\log_2 1 \leq \log_2 x \leq \log_2 4$ なので、$0 \leq t \leq 2$となります。

$y = 2t^2 - 2t + 4 = 2(t^2 - t) + 4 = 2(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 4 = 2(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 4 = 2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2}$

この関数は下に凸な二次関数であり、$0 \leq t \leq 2$ の範囲で考えます。

軸は $t = \frac{1}{2}$ なので、この範囲に含まれます。

最小値は、$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{7}{2}$

最大値は、$t = 2$ のとき、$y = 2(2 - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2(\frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2} = 2(\frac{9}{4}) + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

3. 最終的な答え

最小値: $\frac{7}{2}$

最大値: $8$