問題は、等式 $f(x) = -3x^2 + 3\int_{-1}^0 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、等式 $f(x) = -3x^2 + 3\int_{-1}^0 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$C = \int_{-1}^0 f(t) dt$ とおくと、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = -3x^2 + 3C$

次に、両辺を $-1$ から $0$ まで積分します。

$\int_{-1}^0 f(x) dx = \int_{-1}^0 (-3x^2 + 3C) dx$

左辺は $C$ に等しいので、

$C = \int_{-1}^0 (-3x^2 + 3C) dx$

右辺を計算します。

$\int_{-1}^0 (-3x^2 + 3C) dx = [-x^3 + 3Cx]_{-1}^0 = (0) - (1 - 3C) = -1 + 3C$

したがって、$C = -1 + 3C$ となります。

この式を解くと、

$2C = 1$

$C = \frac{1}{2}$

よって、$f(x) = -3x^2 + 3C = -3x^2 + 3(\frac{1}{2}) = -3x^2 + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = -3x^2 + \frac{3}{2}$