積分方程式 $\int_{0}^{x} f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

積分方程式 $\int_{0}^{x} f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

積分の微分の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(t) dt = f(x)$

また、右辺の微分は、

$\frac{d}{dx} (x^2 - 3x - 4) = 2x - 3$

したがって、$f(x)$ は、

$f(x) = 2x - 3$

次に、定数 $a$ の値を求めます。与えられた積分方程式に $x=0$ を代入すると、

$\int_{0}^{0} f(t) dt = 0^2 - 3(0) - 4$

$\int_{0}^{0} f(t) dt = 0$ なので、

$0 = -4$

これは矛盾しているので、問題文の等式は誤りです。

問題文の等式が $\int_a^x f(t) dt = x^2 - 3x - 4$ であれば、$x=a$を代入すると

$\int_a^a f(t) dt = 0 = a^2 - 3a - 4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a-4)(a+1) = 0$

$a=4, -1$

このうち、$a=4$とすると

$\int_4^x f(t) dt = x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$

両辺を微分すると、$f(x) = 2x-3$

3. 最終的な答え

問題文の等式が誤りなので修正します。

関数 $f(x) = 2x - 3$

$a = 4, -1$