問題１は、スカラー関数 $f(x, y) = 2x^2 - 3xy - y^2 - x - 3y$ の勾配を求める問題です。 問題２は、ベクトル関数 $\vec{F}(x, y, z) = xyz \vec{i} + e^{xz} \vec{j} + 2x^3yz \vec{k}$ の発散を求める問題です。

1. 問題の内容

問題１は、スカラー関数 $f(x, y) = 2x^2 - 3xy - y^2 - x - 3y$ の勾配を求める問題です。

問題２は、ベクトル関数 $\vec{F}(x, y, z) = xyz \vec{i} + e^{xz} \vec{j} + 2x^3yz \vec{k}$ の発散を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題１：スカラー関数の勾配

スカラー関数の勾配は、各変数に関する偏微分を成分とするベクトルで表されます。つまり、

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

ここで、

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 - 3xy - y^2 - x - 3y) = 4x - 3y - 1$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 - 3xy - y^2 - x - 3y) = -3x - 2y - 3$

したがって、勾配は

$\nabla f = (4x - 3y - 1, -3x - 2y - 3)$

問題２：ベクトル関数の発散

ベクトル関数の発散は、各成分の偏微分を足し合わせたスカラー量で表されます。つまり、

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

ここで、$\vec{F}(x, y, z) = (xyz, e^{xz}, 2x^3yz)$ より、

$\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xyz) = yz$

$\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^{xz}) = 0$

$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (2x^3yz) = 2x^3y$

したがって、発散は

$\nabla \cdot \vec{F} = yz + 0 + 2x^3y = yz + 2x^3y$

3. 最終的な答え

問題１：

$\nabla f = (4x - 3y - 1, -3x - 2y - 3)$

問題２：

$\nabla \cdot \vec{F} = yz + 2x^3y$