$\int \tan^{-1}(3x) \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \tan^{-1}(3x) \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

不定積分 $\int \tan^{-1}(3x) \, dx$ を求めるために、部分積分を使用します。

$u = \tan^{-1}(3x)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{3}{1+(3x)^2} \, dx = \frac{3}{1+9x^2} \, dx$ と $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

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\int \tan^{-1}(3x) \, dx = x \tan^{-1}(3x) - \int x \cdot \frac{3}{1+9x^2} \, dx

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右辺の積分 $\int \frac{3x}{1+9x^2} \, dx$ を計算するために、置換積分を行います。

$w = 1+9x^2$ とおくと、$dw = 18x \, dx$ より $x \, dx = \frac{1}{18} dw$ となります。

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\int \frac{3x}{1+9x^2} \, dx = \int \frac{3}{w} \cdot \frac{1}{18} dw = \int \frac{1}{6w} \, dw = \frac{1}{6} \int \frac{1}{w} \, dw = \frac{1}{6} \ln|w| + C = \frac{1}{6} \ln(1+9x^2) + C

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したがって、

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\int \tan^{-1}(3x) \, dx = x \tan^{-1}(3x) - \frac{1}{6} \ln(1+9x^2) + C

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3. 最終的な答え

$x \tan^{-1}(3x) - \frac{1}{6} \ln(1+9x^2) + C$