微分可能な関数 $f(x)$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ として正しいものを全て選択する問題です。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ として正しいものを全て選択する問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義を確認します。関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数は次のように定義されます。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

または

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

したがって、$a=1$ の場合を考えると、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

または

$f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1}$

選択肢を一つずつ確認します。

* 1つ目の選択肢: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ は、微分係数の定義そのものです。これは正しいです。

* 2つ目の選択肢: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ は、極限を取っていないので、誤りです。

* 3つ目の選択肢: $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ は、極限を取っていないので、誤りです。

* 4つ目の選択肢: $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1}$ は、微分係数の定義そのものです。これは正しいです。

* 5つ目の選択肢: $\frac{f(x) - f(1)}{x-1}$ は、極限を取っていないので、誤りです。

* 6つ目の選択肢: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ は、$x$を0に近づけるのではなく、$h$を0に近づけるべきなので、誤りです。

* 7つ目の選択肢: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) + f(1)}{h}$ は、符号が違うので誤りです。

3. 最終的な答え

$f'(1)$ として正しいものは、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1}$

です。