与えられた6つの対数関数を微分する問題です。 (1) $y = \log 3(x-1)$ (2) $y = \log \frac{x+2}{4}$ (3) $y = \log \frac{6}{x+3}$ (4) $y = \log (x-4)(x+5)$ (5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$ (6) $y = \log (x+4)^7$

1. 問題の内容

与えられた6つの対数関数を微分する問題です。

(1) $y = \log 3(x-1)$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5)$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

(6) $y = \log (x+4)^7$

2. 解き方の手順

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を使用します。

または、必要に応じて対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分します。

また、合成関数の微分公式も利用します。

(1) $y = \log 3(x-1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x-1)} \cdot 3 = \frac{1}{x-1}$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4} = \log (x+2) - \log 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2} \cdot 1 - 0 = \frac{1}{x+2}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3} = \log 6 - \log (x+3)$

$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x+3} \cdot 1 = -\frac{1}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5) = \log (x^2 + x - 20)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + x - 20} \cdot (2x + 1) = \frac{2x+1}{x^2+x-20} = \frac{2x+1}{(x-4)(x+5)}$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6} = \log (x+7) - \log (x-6)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+7} \cdot 1 - \frac{1}{x-6} \cdot 1 = \frac{1}{x+7} - \frac{1}{x-6} = \frac{(x-6) - (x+7)}{(x+7)(x-6)} = \frac{-13}{(x+7)(x-6)} = \frac{-13}{x^2+x-42}$

(6) $y = \log (x+4)^7 = 7 \log (x+4)$

$\frac{dy}{dx} = 7 \cdot \frac{1}{x+4} \cdot 1 = \frac{7}{x+4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+3}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{(x-4)(x+5)}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-13}{(x+7)(x-6)}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+4}$