次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$

2. 解き方の手順

まず、$y = (1 - \frac{1}{x})^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = x \ln (1 - \frac{1}{x})$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ です。

$\ln (1+t)$ の $t=0$ におけるテイラー展開は、

$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$

であるので、$t = -\frac{1}{x}$ とすると、

$\ln(1 - \frac{1}{x}) = -\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{3x^3} - \dots$

したがって、

$\ln y = x \ln (1 - \frac{1}{x}) = x (-\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{3x^3} - \dots) = -1 - \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} - \dots$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -1$

よって、

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$