与えられた画像には、いくつかの極限に関する問題と公式が記述されています。特に、 (1) $x > 0$ について、$n \in \mathbb{N}$ を $n \le x < n+1$ と選ぶとき、$(1+\frac{1}{n+1})^n$、$(1+\frac{1}{x})^x$、$(1+\frac{1}{n})^n$ の大小関係と、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n+1})^n$ および $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ を求める問題。 (2) $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた画像には、いくつかの極限に関する問題と公式が記述されています。特に、

(1) $x > 0$ について、$n \in \mathbb{N}$ を $n \le x < n+1$ と選ぶとき、$(1+\frac{1}{n+1})^n$、$(1+\frac{1}{x})^x$、$(1+\frac{1}{n})^n$ の大小関係と、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n+1})^n$ および $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$ を求める問題。

(2) $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、公式3.8 に $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$ とあります。$n \le x < n+1$ なので、$x$ が大きくなるにつれて $n$ も大きくなります。つまり、$n \to \infty$ のとき $x \to \infty$ です。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n$ を求めます。$t = n+1$ と置くと、$n = t-1$ となり、$n \to \infty$ のとき $t \to \infty$ です。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{t-1} = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^t (1+\frac{1}{t})^{-1} = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^t \cdot \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t})^{-1} = e \cdot 1 = e$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ (公式3.8より)

また、$n \le x < n+1$ であることから、$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \le \frac{1}{n}$ が成り立ちます。

したがって、$1+\frac{1}{n+1} < 1+\frac{1}{x} \le 1+\frac{1}{n}$ となります。

これを $n$ 乗すると、$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^n \le (1+\frac{1}{n})^n$ となります。

$x$ と $n$ の関係を考慮すると、

$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{n})^n$

はさみうちの原理より、$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$

(2)

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x$ を求めます。$t = -x$ と置くと、$x = -t$ となり、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ です。

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{t \to \infty} (1 - \frac{1}{t})^{-t} = \lim_{t \to \infty} (\frac{t-1}{t})^{-t} = \lim_{t \to \infty} (\frac{t}{t-1})^t = \lim_{t \to \infty} (\frac{t-1+1}{t-1})^t = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t-1})^t = \lim_{t \to \infty} (1+\frac{1}{t-1})^{t-1} (1+\frac{1}{t-1}) = e \cdot 1 = e$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n+1})^n = e$、$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$、$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$

$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{n})^n$

(2) $\lim_{x \to -\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$