与えられた等式を証明する問題です。 (2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ (3) $\tan^{-1}\frac{1}{x} + \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ (ただし、$x > 0$)

1. 問題の内容

与えられた等式を証明する問題です。

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{x} + \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ (ただし、$x > 0$)

2. 解き方の手順

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$の証明

まず、$y = \cos^{-1}x$とおくと、$x = \cos y$となる。ここで、$0 \leq y \leq \pi$である。

次に、$\cos(\pi - y) = -\cos y = -x$となるので、$\pi - y = \cos^{-1}(-x)$が成り立つ。

したがって、$\cos^{-1}(-x) = \pi - y = \pi - \cos^{-1}x$となる。

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{x} + \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ (ただし、$x > 0$)の証明

$y = \tan^{-1}x$とおくと、$x = \tan y$となる。ここで、$0 < y < \frac{\pi}{2}$である。(なぜなら、$x > 0$だから。)

$\tan(\frac{\pi}{2} - y) = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{x}$となるので、$\frac{\pi}{2} - y = \tan^{-1}\frac{1}{x}$が成り立つ。

したがって、$\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x$となる。

これを整理すると、$\tan^{-1}\frac{1}{x} + \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{x} + \tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$