次の関数を微分する問題です。 (1) $x^x$ (2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $x^x$

(2) $\sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ を微分する。

両辺の自然対数をとると

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

よって

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(2) $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ を微分する。

両辺の自然対数をとると

$\ln y = \ln \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} = \frac{1}{2} \ln \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{2} (\ln(1-x^2) - \ln(1+x^2))$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{-2x}{1-x^2} - \frac{2x}{1+x^2}) = -x (\frac{1}{1-x^2} + \frac{1}{1+x^2}) = -x (\frac{1+x^2+1-x^2}{(1-x^2)(1+x^2)}) = -x \frac{2}{1-x^4} = \frac{-2x}{1-x^4}$

よって

$\frac{dy}{dx} = y \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{1-x^4} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{-2x}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)^{3/2}\sqrt{1+x^2}} = \frac{-2x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{(1+x^2)\sqrt{1-x^4}}$