以下の6つの関数を微分する問題です。問題文には「$\log (x+b)$ や $\log_a (x+b)$ の式にしてから、公式3.4, 5.3を用いて微分せよ」とありますが、特にそのような変換をしなくても、合成関数の微分公式を用いることで解くことができます。対数の底は全て10とします。 (1) $y = \log 3(x-1)$ (2) $y = \log \frac{x+2}{4}$ (3) $y = \log \frac{6}{x+3}$ (4) $y = \log (x-4)(x+5)$ (5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$ (6) $y = \log (x+4)^7$

1. 問題の内容

以下の6つの関数を微分する問題です。問題文には「$\log (x+b)$ や $\log_a (x+b)$ の式にしてから、公式3.4, 5.3を用いて微分せよ」とありますが、特にそのような変換をしなくても、合成関数の微分公式を用いることで解くことができます。対数の底は全て10とします。

(1) $y = \log 3(x-1)$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5)$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

(6) $y = \log (x+4)^7$

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を利用します。

$y = \log u$ のとき $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 10}$となることを利用します。

(1) $u = 3(x-1)$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(x-1) \ln 10} \cdot 3 = \frac{1}{(x-1) \ln 10}$

(2) $u = \frac{x+2}{4}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{4}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{x+2}{4} \ln 10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{(x+2) \ln 10}$

(3) $u = \frac{6}{x+3}$ とすると、$\frac{du}{dx} = -\frac{6}{(x+3)^2}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{6}{x+3} \ln 10} \cdot \left(-\frac{6}{(x+3)^2}\right) = \frac{x+3}{6 \ln 10} \cdot \left(-\frac{6}{(x+3)^2}\right) = -\frac{1}{(x+3) \ln 10}$

(4) $u = (x-4)(x+5) = x^2 + x - 20$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x + 1$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2+x-20) \ln 10} \cdot (2x+1) = \frac{2x+1}{(x^2+x-20) \ln 10}$

(5) $u = \frac{x+7}{x-6}$ とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{(x-6) - (x+7)}{(x-6)^2} = \frac{-13}{(x-6)^2}$なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{x+7}{x-6} \ln 10} \cdot \frac{-13}{(x-6)^2} = \frac{x-6}{(x+7) \ln 10} \cdot \frac{-13}{(x-6)^2} = \frac{-13}{(x+7)(x-6) \ln 10} = \frac{-13}{(x^2+x-42) \ln 10}$

(6) $y = \log (x+4)^7 = 7 \log (x+4)$ と変形できる。 $u = x+4$ とすると、$\frac{du}{dx} = 1$なので、

$\frac{dy}{dx} = 7 \cdot \frac{1}{(x+4) \ln 10} \cdot 1 = \frac{7}{(x+4) \ln 10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{(x-1) \ln 10}$

(2) $\frac{1}{(x+2) \ln 10}$

(3) $-\frac{1}{(x+3) \ln 10}$

(4) $\frac{2x+1}{(x^2+x-20) \ln 10}$

(5) $\frac{-13}{(x^2+x-42) \ln 10}$

(6) $\frac{7}{(x+4) \ln 10}$