与えられた関数 $y$ を微分する問題です。すべての関数は対数関数を含んでおり、対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分する必要があります。具体的には、以下の6つの関数をそれぞれ微分します。 (1) $y = \log 3(x-1)$ (2) $y = \log \frac{x+2}{4}$ (3) $y = \log \frac{6}{x+3}$ (4) $y = \log (x-4)(x+5)$ (5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$ (6) $y = \log (x+4)^7$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。すべての関数は対数関数を含んでおり、対数の性質を利用して式を簡単にしてから微分する必要があります。具体的には、以下の6つの関数をそれぞれ微分します。

(1) $y = \log 3(x-1)$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5)$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

(6) $y = \log (x+4)^7$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を求めます。

1. 対数の性質を利用して関数を簡単にする。

2. 簡単にした関数を微分する。合成関数の微分なども利用します。

(1) $y = \log 3(x-1)$

対数の性質より、$y = \log 3 + \log (x-1)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1} \frac{d}{dx} (x-1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1}$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

対数の性質より、$y = \log (x+2) - \log 4$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2} \frac{d}{dx} (x+2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

対数の性質より、$y = \log 6 - \log (x+3)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{x+3} \frac{d}{dx} (x+3)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5)$

対数の性質より、$y = \log (x-4) + \log (x+5)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-4} \frac{d}{dx} (x-4) + \frac{1}{x+5} \frac{d}{dx} (x+5)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+5}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+5 + x-4}{(x-4)(x+5)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{x^2+x-20}$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

対数の性質より、$y = \log (x+7) - \log (x-6)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+7} \frac{d}{dx} (x+7) - \frac{1}{x-6} \frac{d}{dx} (x-6)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+7} - \frac{1}{x-6}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x-6 - (x+7)}{(x+7)(x-6)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-13}{x^2+x-42}$

(6) $y = \log (x+4)^7$

対数の性質より、$y = 7 \log (x+4)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 7 \frac{1}{x+4} \frac{d}{dx} (x+4)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+3}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{x^2+x-20}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-13}{x^2+x-42}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+4}$