与えられた6つの対数関数 $y$ を $x$ で微分する問題です。対数の底はすべて10であると仮定します。 (1) $y = \log 3(x-1)$ (2) $y = \log \frac{x+2}{4}$ (3) $y = \log \frac{6}{x+3}$ (4) $y = \log (x-4)(x+5)$ (5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$ (6) $y = \log (x+4)^7$

1. 問題の内容

与えられた6つの対数関数 $y$ を $x$ で微分する問題です。対数の底はすべて10であると仮定します。

(1) $y = \log 3(x-1)$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5)$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

(6) $y = \log (x+4)^7$

2. 解き方の手順

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} \frac{1}{\log 10}$ を用います。ここで、$\log 10$ は自然対数の底 $e$ を底とする10の対数 $\ln 10$ です。

(1) $y = \log 3(x-1)$

$y' = \frac{1}{3(x-1)} \cdot 3 \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{1}{x-1} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

(2) $y = \log \frac{x+2}{4}$

$y' = \frac{1}{\frac{x+2}{4}} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{4}{x+2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

(3) $y = \log \frac{6}{x+3}$

$y' = \frac{1}{\frac{6}{x+3}} \cdot (-\frac{6}{(x+3)^2}) \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{x+3}{6} \cdot (-\frac{6}{(x+3)^2}) \cdot \frac{1}{\ln 10} = -\frac{1}{x+3} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

(4) $y = \log (x-4)(x+5) = \log (x^2 + x - 20)$

$y' = \frac{1}{x^2+x-20} \cdot (2x+1) \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{2x+1}{(x-4)(x+5)} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

(5) $y = \log \frac{x+7}{x-6}$

$y' = \frac{1}{\frac{x+7}{x-6}} \cdot \frac{(x-6) - (x+7)}{(x-6)^2} \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{x-6}{x+7} \cdot \frac{-13}{(x-6)^2} \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{-13}{(x+7)(x-6)} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

(6) $y = \log (x+4)^7 = 7 \log (x+4)$

$y' = 7 \cdot \frac{1}{x+4} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\ln 10} = \frac{7}{x+4} \cdot \frac{1}{\ln 10}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{(x-1)\ln 10}$

(2) $y' = \frac{1}{(x+2)\ln 10}$

(3) $y' = -\frac{1}{(x+3)\ln 10}$

(4) $y' = \frac{2x+1}{(x-4)(x+5)\ln 10}$

(5) $y' = -\frac{13}{(x+7)(x-6)\ln 10}$

(6) $y' = \frac{7}{(x+4)\ln 10}$