与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = e^{-x} + 3\cos(2x)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = e^{-x} + 3\cos(2x)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$ の一般解を求めます。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

最後に、一般解と特殊解を足し合わせて、非同次方程式の一般解を得ます。

(1) 同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$ の一般解を求める。

特性方程式は $\lambda^2 + 4 = 0$ です。

この方程式の解は $\lambda = \pm 2i$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)$ です。ここで、$C_1$と$C_2$は任意定数です。

(2) 非同次方程式の特殊解を求める。

非同次項は $e^{-x} + 3\cos(2x)$ なので、特殊解を $y_p(x) = Ae^{-x} + Bx\cos(2x) + Cx\sin(2x)$ と仮定します。

$y_p'(x) = -Ae^{-x} + B\cos(2x) - 2Bx\sin(2x) + C\sin(2x) + 2Cx\cos(2x)$

$y_p''(x) = Ae^{-x} - 4B\sin(2x) - 4Bx\cos(2x) + 4C\cos(2x) - 4Cx\sin(2x)$

これを元の微分方程式に代入すると、

$Ae^{-x} - 4B\sin(2x) - 4Bx\cos(2x) + 4C\cos(2x) - 4Cx\sin(2x) + 4Ae^{-x} + 4Bx\cos(2x) + 4Cx\sin(2x) = e^{-x} + 3\cos(2x)$

$5Ae^{-x} - 4B\sin(2x) + 4C\cos(2x) = e^{-x} + 3\cos(2x)$

係数を比較して、$5A = 1$, $-4B = 0$, $4C = 3$ を得ます。

したがって、$A = \frac{1}{5}$, $B = 0$, $C = \frac{3}{4}$ です。

よって、特殊解は $y_p(x) = \frac{1}{5}e^{-x} + \frac{3}{4}x\sin(2x)$ です。

(3) 非同次方程式の一般解

非同次方程式の一般解は、同次方程式の一般解と特殊解を足し合わせたものです。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{5}e^{-x} + \frac{3}{4}x\sin(2x)$

3. 最終的な答え

$y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{5}e^{-x} + \frac{3}{4}x\sin(2x)$