与えられた8つの関数 $y$ を微分する問題です。対数関数を含む様々な関数の微分を求めます。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた8つの関数 $y$ を微分する問題です。対数関数を含む様々な関数の微分を求めます。

2. 解き方の手順

以下に各問題の解き方を示します。必要に応じて、積の微分、商の微分、合成関数の微分などの公式を使用します。ここで、$\log x$ は自然対数を表すものとします。

(1) $y = (x-1) \log(x+1)$

積の微分法を用います。

$y' = (x-1)'\log(x+1) + (x-1)(\log(x+1))'$

$y' = \log(x+1) + (x-1)\frac{1}{x+1}$

$y' = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1}$

(2) $y = (\log x + 1) \log x$

積の微分法を用います。

$y' = (\log x + 1)' \log x + (\log x + 1) (\log x)'$

$y' = \frac{1}{x}\log x + (\log x + 1)\frac{1}{x}$

$y' = \frac{\log x}{x} + \frac{\log x + 1}{x}$

$y' = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y = \frac{\log x - 1}{x}$

商の微分法を用います。

$y' = \frac{(\log x - 1)'x - (\log x - 1)(x)'}{x^2}$

$y' = \frac{\frac{1}{x}x - (\log x - 1)}{x^2}$

$y' = \frac{1 - \log x + 1}{x^2}$

$y' = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) $y = \frac{x-1}{\log(x+1)}$

商の微分法を用います。

$y' = \frac{(x-1)'\log(x+1) - (x-1)(\log(x+1))'}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\log(x+1) - (x-1)\frac{1}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\log(x+1) - \frac{x-1}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{(x+1)\log(x+1) - (x-1)}{(x+1)(\log(x+1))^2}$

(5) $y = \log(x^4 + x^2 - 1)$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \frac{1}{x^4 + x^2 - 1} (x^4 + x^2 - 1)'$

$y' = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) $y = \log(\sqrt{x} - 3)$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} (\sqrt{x} - 3)'$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}$

$y' = \frac{1}{2(x - 3\sqrt{x})}$

(7) $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2} = (\log x - 5)^{-2}$

合成関数の微分法を用います。

$y' = -2(\log x - 5)^{-3} (\log x - 5)'$

$y' = -2(\log x - 5)^{-3} \frac{1}{x}$

$y' = \frac{-2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) $y = \sqrt{\log x + 2} = (\log x + 2)^{1/2}$

合成関数の微分法を用います。

$y' = \frac{1}{2}(\log x + 2)^{-1/2} (\log x + 2)'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\log x + 2}} \cdot \frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1}$

(2) $y' = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y' = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) $y' = \frac{(x+1)\log(x+1) - (x-1)}{(x+1)(\log(x+1))^2}$

(5) $y' = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) $y' = \frac{1}{2(x - 3\sqrt{x})}$

(7) $y' = \frac{-2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) $y' = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$