与えられた条件を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。条件は以下の2つです。 [1] $F'(x) = \frac{1 - x - x^2}{x^2}$ [2] $F(e) = -1$

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。条件は以下の2つです。

[1] $F'(x) = \frac{1 - x - x^2}{x^2}$

[2] $F(e) = -1$

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。その後、$F(e) = -1$ という条件を使って積分定数を決定します。

ステップ1: $F'(x)$ を積分する。

$F'(x)$ を次のように書き換えます。

$F'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{x}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 1$

$F(x)$ は $F'(x)$ の積分なので、

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} - 1) dx = \int (x^{-2} - \frac{1}{x} - 1) dx$

積分を実行すると、

$F(x) = \int x^{-2} dx - \int \frac{1}{x} dx - \int 1 dx = \frac{x^{-1}}{-1} - \ln|x| - x + C = -\frac{1}{x} - \ln|x| - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

ステップ2: $F(e) = -1$ の条件を使って積分定数 $C$ を求める。

$F(e) = -1$ を $F(x)$ に代入します。

$F(e) = -\frac{1}{e} - \ln|e| - e + C = -\frac{1}{e} - 1 - e + C = -1$

この式から $C$ を求めます。

$-\frac{1}{e} - 1 - e + C = -1$

$C = \frac{1}{e} + e$

ステップ3: 積分定数 $C$ を $F(x)$ に代入する。

$F(x) = -\frac{1}{x} - \ln|x| - x + \frac{1}{e} + e$

3. 最終的な答え

$F(x) = -\frac{1}{x} - \ln|x| - x + \frac{1}{e} + e$