与えられた6つの極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x + 5}{2x^2 + 3x + 2}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x^3 + x + 5}{x^2 + 2x + 4}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}} = -\infty$

よって、発散します。

(3) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3x + 4}{4x^3 - x^2 + 2x + 1}$

分子と分母を$x^3$で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$

$x \to -\infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{1}{x^3} \to 0$なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}{4 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{0}{4} = 0$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x + 3}{3^x + 1}$

分子と分母を$3^x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x + \frac{3}{3^x}}{1 + \frac{1}{3^x}}$

$x \to \infty$のとき、$\left(\frac{2}{3}\right)^x \to 0$、$\frac{1}{3^x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^x + \frac{3}{3^x}}{1 + \frac{1}{3^x}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{2^x}$

$x = 0$を代入します。

$\frac{0 + 1}{2^0} = \frac{1}{1} = 1$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x + 2}{\cos x}$

$x = 0$を代入します。

$\frac{0 + 2}{\cos 0} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) 発散

(3) 0

(4) 0

(5) 1

(6) 2