与えられた式 $log_4(sin x + 1)$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $log_4(sin x + 1)$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を用います。

$y = log_a u$ の微分は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln a} \frac{du}{dx}$ となります。

この問題では、$a = 4$、$u = sin x + 1$ です。

よって、$log_4(sin x + 1)$ の微分は、

$\frac{d}{dx} log_4(sin x + 1) = \frac{1}{(sin x + 1) \ln 4} \frac{d}{dx}(sin x + 1)$

となります。

$sin x$ の微分は $cos x$ であり、定数 1 の微分は 0 であるので、

$\frac{d}{dx}(sin x + 1) = cos x + 0 = cos x$

となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} log_4(sin x + 1) = \frac{cos x}{(sin x + 1) \ln 4}$

となります。

ここで、$\ln 4 = \ln 2^2 = 2 \ln 2$ であることを考慮すると、

$\frac{d}{dx} log_4(sin x + 1) = \frac{cos x}{2(sin x + 1) \ln 2}$

とすることもできます。

3. 最終的な答え

$\frac{cos x}{(sin x + 1) \ln 4}$

または

$\frac{cos x}{2(sin x + 1) \ln 2}$