問題は、与えられた$\theta$の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求める問題です。$\theta$は以下の4つの値を取ります。 (1) $\theta = -\frac{19}{6}\pi$ (2) $\theta = 3\pi$ (3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ (4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

1. 問題の内容

問題は、与えられた$\theta$の値に対して、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値をそれぞれ求める問題です。$\theta$は以下の4つの値を取ります。

(1) $\theta = -\frac{19}{6}\pi$

(2) $\theta = 3\pi$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$

(4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = -\frac{19}{6}\pi$の場合：

まず、$-\frac{19}{6}\pi$は$-3\pi - \frac{\pi}{6}$と同じです。$-3\pi$は半回転が3回繰り返されることを意味します。$\sin$と$\cos$の周期は$2\pi$なので、$-\frac{19}{6}\pi$は$-\pi - \frac{\pi}{6}$と同じ角度になります。さらに、$-\pi - \frac{\pi}{6}$ は $- \frac{\pi}{6}$と同じ位置関係にあります。

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = 3\pi$の場合：

$3\pi$は$\pi$と同じ角度になります。

$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$

$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$

$\tan(3\pi) = \frac{\sin(3\pi)}{\cos(3\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$の場合：

$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

$\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$の場合：

$\sin\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{\sin\left(-\frac{3}{4}\pi\right)}{\cos\left(-\frac{3}{4}\pi\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{19}{6}\pi$:

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\theta = 3\pi$:

$\sin \theta = 0$

$\cos \theta = -1$

$\tan \theta = 0$

(3) $\theta = -\frac{\pi}{6}$:

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $\theta = -\frac{3}{4}\pi$:

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = 1$