以下の極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を指数関数と対数関数を使って書き換えます。

$y = (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}}$ とおくと、

$\log y = -\frac{1}{\log x} \log (\sin x) = -\frac{\log(\sin x)}{\log x}$

したがって、

$y = e^{-\frac{\log(\sin x)}{\log x}}$

求める極限は、

$\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}} = \lim_{x \to +0} e^{-\frac{\log(\sin x)}{\log x}}$

ここで、$\lim_{x \to +0} -\frac{\log(\sin x)}{\log x}$ を計算します。

$x \to +0$ のとき、$\sin x \approx x$ であるから、$\log(\sin x) \approx \log x$ となります。

よって、

$\lim_{x \to +0} -\frac{\log(\sin x)}{\log x} = \lim_{x \to +0} -\frac{\log x}{\log x} = -1$

したがって、

$\lim_{x \to +0} (\sin x)^{-\frac{1}{\log x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$