問題は、与えられた6つの命題を全称記号（$\forall$）や存在記号（$\exists$）を用いて表現することです。ここで、数列 $\{a_n\}$ は実数列、$\alpha$ は実数、$f$ は実関数です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた6つの命題を全称記号（$\forall$）や存在記号（$\exists$）を用いて表現することです。ここで、数列 $\{a_n\}$ は実数列、$\alpha$ は実数、$f$ は実関数です。

2. 解き方の手順

各命題を、全称記号と存在記号を用いて、ε-δ論法あるいはそれに準ずる方法で表現します。

(1) 数列 $\{a_n\}$ が $\alpha$ に収束する。

定義より、「任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n > N$ ならば $|a_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ」となります。これを全称記号と存在記号で表すと次のようになります。

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n > N, |a_n - \alpha| < \epsilon$

(2) 数列 $\{a_n\}$ が実数 $\alpha$ に収束しない。

これは、(1)の否定です。

$\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n > N, |a_n - \alpha| \geq \epsilon$

(3) 数列 $\{a_n\}$ がコーシー列である。

定義より、「任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$m, n > N$ ならば $|a_m - a_n| < \epsilon$ が成り立つ」となります。

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } m > N \land n > N, |a_m - a_n| < \epsilon$

(4) 数列 $\{a_n\}$ がコーシー列でない。

これは、(3)の否定です。

$\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists m, n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } m > N \land n > N, |a_m - a_n| \geq \epsilon$

(5) $f$ が $x_0 \in \mathbb{R}$ で連続である。

定義より、「任意の正の数 $\epsilon$ に対して、ある正の数 $\delta$ が存在し、$|x - x_0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ が成り立つ」となります。

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathbb{R} \text{ s.t. } |x - x_0| < \delta, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

(6) $f$ が $x_0 \in \mathbb{R}$ で連続でない。

これは、(5)の否定です。

$\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists x \in \mathbb{R} \text{ s.t. } |x - x_0| < \delta, |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon$

3. 最終的な答え

(1) $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n > N, |a_n - \alpha| < \epsilon$

(2) $\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n > N, |a_n - \alpha| \geq \epsilon$

(3) $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall m, n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } m > N \land n > N, |a_m - a_n| < \epsilon$

(4) $\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists m, n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } m > N \land n > N, |a_m - a_n| \geq \epsilon$

(5) $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in \mathbb{R} \text{ s.t. } |x - x_0| < \delta, |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

(6) $\exists \epsilon > 0, \forall \delta > 0, \exists x \in \mathbb{R} \text{ s.t. } |x - x_0| < \delta, |f(x) - f(x_0)| \geq \epsilon$