与えられた関数 $y = (x^2 + 1)\cot(\frac{x}{3})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (x^2 + 1)\cot(\frac{x}{3})$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を利用します。

積の微分法則は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

まず、$u = x^2 + 1$、$v = \cot(\frac{x}{3})$ とおきます。

$u' = (x^2 + 1)' = 2x$

$v' = (\cot(\frac{x}{3}))' = -\csc^2(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = -\csc^2(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\csc^2(\frac{x}{3})$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2x\cot(\frac{x}{3}) + (x^2 + 1)(-\frac{1}{3}\csc^2(\frac{x}{3}))$

$y' = 2x\cot(\frac{x}{3}) - \frac{1}{3}(x^2 + 1)\csc^2(\frac{x}{3})$

3. 最終的な答え

$y' = 2x\cot(\frac{x}{3}) - \frac{1}{3}(x^2 + 1)\csc^2(\frac{x}{3})$