関数 $y = \frac{1}{(\cos(3x) + 1)^2}$ の導関数 $y'$ を求めよ。画像には途中式が書かれている。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(\cos(3x) + 1)^2}$ の導関数 $y'$ を求めよ。画像には途中式が書かれている。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $(\cos(3x) + 1)^{-2}$ と書き換える。

次に、合成関数の微分公式を用いる。つまり、

$\frac{d}{dx} (u(v(x))) = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

ここで、 $u(v) = v^{-2}$ かつ $v(x) = \cos(3x) + 1$ と置く。

すると、 $\frac{du}{dv} = -2v^{-3} = -2(\cos(3x) + 1)^{-3}$ であり、

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos(3x) + 1) = -3\sin(3x)$ である。

したがって、

$y' = -2(\cos(3x) + 1)^{-3} \cdot (-3\sin(3x)) = \frac{6\sin(3x)}{(\cos(3x) + 1)^3}$ となる。

画像の途中式について補足すると、画像の式は

$y' = \frac{(\cos(3x)+1)'}{(\cos(3x)+1)^3}$ となっており、これにマイナスがついていますが、正しい式と一致するように計算すると、マイナスは不要です。 $(\cos(3x)+1)^2$ を $u$ と置くと、$y = 1/u$, $y' = -1/u^2 * u'$となります。

したがって、$y' = -\frac{1}{(\cos(3x)+1)^4} * 2(\cos(3x)+1) * (-3\sin(3x)) = \frac{6\sin(3x)}{(\cos(3x)+1)^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{6\sin(3x)}{(\cos(3x) + 1)^3}$