問題は、$n \ge 1$ に対して、与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めるものです。ここでは、問題2と4を解きます。 問題2: $f(x) = e^{-2x}\left(2\cos^2\left(x + \frac{\pi}{36}\right) - 1\right)$ 問題4: $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$

はい、承知いたしました。問題2と4について解答します。

1. 問題の内容

問題は、$n \ge 1$ に対して、与えられた関数 $f(x)$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めるものです。ここでは、問題2と4を解きます。

問題2: $f(x) = e^{-2x}\left(2\cos^2\left(x + \frac{\pi}{36}\right) - 1\right)$

問題4: $f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x)$

2. 解き方の手順

問題2:

まず、$f(x)$ を簡単化します。三角関数の倍角の公式 $2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$ を用いると、

$f(x) = e^{-2x}\cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{36}\right)\right) = e^{-2x}\cos\left(2x + \frac{\pi}{18}\right)$

$f(x)$ の $n$ 階導関数を求めるために、ライプニッツの公式を用います。

$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} \left(e^{-2x}\cos\left(2x + \frac{\pi}{18}\right)\right)$

$e^{-2x} = u$, $\cos\left(2x + \frac{\pi}{18}\right) = v$ とおくと、$u^{(n)} = (-2)^n e^{-2x}$ であり、$v^{(n)} = 2^n\cos\left(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{2}\right)$

ライプニッツの公式より

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-2)^k e^{-2x}2^{n-k}\cos\left(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{(n-k)\pi}{2}\right)$

$f^{(n)}(x) = e^{-2x}2^n\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k\cos\left(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{(n-k)\pi}{2}\right)$

$f^{(n)}(x) = 2^n e^{-2x} \left(\cos(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{n \pi}{4}) \right)$.

または複素数表示 $e^{i(2x+\pi/18)}$ を利用して計算すると、

$f(x) = e^{-2x} \cos(2x+\pi/18) = Re(e^{-2x+i(2x+\pi/18)})$, $f^{(n)}(x) = Re(\frac{d^n}{dx^n}(e^{(-2+2i)x+i \pi/18}) ) = Re((-2+2i)^n e^{(-2+2i)x+i\pi/18} )$.

$-2+2i = 2\sqrt{2} e^{i3\pi/4}$なので、$(-2+2i)^n = (2\sqrt{2})^n e^{in3\pi/4}$.

$f^{(n)}(x) = (2\sqrt{2})^n e^{-2x} Re(e^{i(2x+\pi/18+3n\pi/4)})$

$f^{(n)}(x) = (2\sqrt{2})^n e^{-2x} \cos(2x+\pi/18+3n\pi/4)$.

問題4:

$f(x) = 8\sin^2x(1 - \sin^2x) = 8\sin^2x\cos^2x = 2(4\sin^2x\cos^2x) = 2(2\sin x\cos x)^2 = 2(\sin(2x))^2 = 2\sin^2(2x)$.

三角関数の半角の公式を用いて、$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ より、

$f(x) = 2\left(\frac{1 - \cos(4x)}{2}\right) = 1 - \cos(4x)$.

$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} (1 - \cos(4x)) = - \frac{d^n}{dx^n} \cos(4x) = -(-1)^{\frac{n}{2}} 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2}) = 4^n \cos(4x + \frac{(n+2)\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = -4^n\cos\left(4x + \frac{n\pi}{2}\right)$.

3. 最終的な答え

問題2: $f^{(n)}(x) = (2\sqrt{2})^n e^{-2x} \cos\left(2x + \frac{\pi}{18} + \frac{3n\pi}{4}\right)$

問題4: $f^{(n)}(x) = -4^n\cos\left(4x + \frac{n\pi}{2}\right)$