与えられた積分 $\int \frac{x \sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{x \sin^{-1}x}{(1-x^2)^{3/2}} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin \theta$ と置換する。すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となり、$\sin^{-1} x = \theta$ となる。また、$(1-x^2)^{3/2} = (1 - \sin^2 \theta)^{3/2} = (\cos^2 \theta)^{3/2} = \cos^3 \theta$ となる。したがって、積分は

$\int \frac{\sin \theta \cdot \theta}{\cos^3 \theta} \cos \theta d\theta = \int \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \theta d\theta$

となる。ここで、$u = \frac{1}{\cos \theta}$, $dv = \theta \sin \theta d\theta$ とおいて部分積分を適用することを考える。しかし、これはうまくいかない。

そこで、$t = \cos \theta$ と置換すると、$dt = -\sin \theta d\theta$ となり、積分は

$\int \theta \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta = \int \theta \frac{-dt}{t^2} = \int \frac{\theta}{t^2} (-dt)$

となる。ここで、$\theta = \sin^{-1} x$ より、$\theta = \sin^{-1} x = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$ であるから、$\theta = \sin^{-1}(\sqrt{1-t^2})$. よって積分は

$\int \frac{\sin^{-1}(\sqrt{1-t^2})}{t^2} (-dt)$

となる。これは簡単にならない。

そこで、$\int \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \theta d\theta$ に対して部分積分を行う。

$u = \theta$, $dv = \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta$ とおくと、$du = d\theta$ となる。$v = \int \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} d\theta$ を計算するために、$w = \cos \theta$ とおくと、$dw = -\sin \theta d\theta$ となり、$v = \int \frac{-dw}{w^2} = \frac{1}{w} = \frac{1}{\cos \theta}$ となる。したがって、部分積分により、

$\int \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} \theta d\theta = \theta \frac{1}{\cos \theta} - \int \frac{1}{\cos \theta} d\theta = \frac{\theta}{\cos \theta} - \int \sec \theta d\theta$

$= \frac{\theta}{\cos \theta} - \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C$

ここで、$\theta = \sin^{-1} x$ であるから、$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ であり、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ となる。したがって、

$\frac{\theta}{\cos \theta} - \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \ln |\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}| + C$

$= \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \ln |\frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}| + C = \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \ln |\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}| + C$

$= \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2} \ln |\frac{1+x}{1-x}| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2} \ln |\frac{1+x}{1-x}| + C$