曲線 $C: y = x^2(x+3)$ があり、$C$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $D$ とします。ただし、$a > 0$ です。 以下の問いに答えます。 (1) 曲線 $D$ の方程式を求めよ。 (2) 2曲線 $C$ と $D$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 (3) 2曲線 $C$ と $D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。 (4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$ が最大となるような定数 $a$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答していきます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2(x+3)$ があり、$C$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $D$ とします。ただし、$a > 0$ です。

以下の問いに答えます。

(1) 曲線 $D$ の方程式を求めよ。

(2) 2曲線 $C$ と $D$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) 2曲線 $C$ と $D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

(4) $t = 12 - a^2$ とおくことにより、$S$ が最大となるような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $D$ の方程式

曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したものが曲線 $D$ なので、$x$ を $x-a$ で置き換えます。

したがって、曲線 $D$ の方程式は、

$y = (x-a)^2(x-a+3)$

(2) 2曲線 $C$ と $D$ が異なる2点で交わる条件

2曲線 $C$ と $D$ の交点を求めるために、$C$ と $D$ の方程式を連立します。

$x^2(x+3) = (x-a)^2(x-a+3)$

$x^3 + 3x^2 = (x^2 - 2ax + a^2)(x - a + 3)$

$x^3 + 3x^2 = x^3 - ax^2 + 3x^2 - 2ax^2 + 2a^2x - 6ax + a^2x - a^3 + 3a^2$

$0 = -ax^2 - 2ax^2 + a^2x - 6ax + a^2x - a^3 + 3a^2$

$0 = -3ax^2 + (2a^2 - 6a)x + (-a^3 + 3a^2)$

$0 = -3ax^2 + (2a^2 - 6a)x + (-a^3 + 3a^2)$

$3ax^2 - (2a^2 - 6a)x + (a^3 - 3a^2) = 0$

$3ax^2 - 2a(a - 3)x + a^2(a - 3) = 0$

$a > 0$ より、$a$ で割ることができます。

$3x^2 - 2(a - 3)x + a(a - 3) = 0$

2曲線が異なる2点で交わる条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解を持つことです。判別式を $D$ とすると、$D > 0$ となる必要があります。

$D = \{ -2(a-3) \}^2 - 4 \cdot 3 \cdot a(a-3) > 0$

$4(a^2 - 6a + 9) - 12a(a - 3) > 0$

$4a^2 - 24a + 36 - 12a^2 + 36a > 0$

$-8a^2 + 12a + 36 > 0$

$2a^2 - 3a - 9 < 0$

$(2a + 3)(a - 3) < 0$

$-\frac{3}{2} < a < 3$

$a > 0$ より、$0 < a < 3$

(3) 2曲線 $C$ と $D$ で囲まれた図形の面積 $S$

$3x^2 - 2(a-3)x + a(a-3) = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、

$x = \frac{2(a-3) \pm \sqrt{4(a-3)^2 - 12a(a-3)}}{6} = \frac{2(a-3) \pm \sqrt{-8a^2+12a+36}}{6}$

$\alpha + \beta = \frac{2(a-3)}{3}$, $\alpha\beta = \frac{a(a-3)}{3}$

２つの解は $x = \frac{a-3}{3} (2 \pm \sqrt{-2a^2+3a+9})$　これは計算を間違えていそうです。

$3x^2 - 2(a-3)x + a(a-3) = 0$

$(3x-a)(x-a+3)=0$

$x= a/3, a-3$

面積 $S = \int_{a/3}^{a-3} \{ x^2(x+3) - (x-a)^2(x-a+3) \} dx$

$S = \int_{a/3}^{a-3} \{3ax^2 - 2a(a - 3)x + a^2(a - 3)\} dx$

$S = [ax^3 - a(a - 3)x^2 + a^2(a - 3)x ]_{a/3}^{a-3} = \frac{a^3(3-a)^2}{6}$

(4) $S$ が最大となる $a$ の値を求める

$t = 12 - a^2$ とおく。$a^2 = 12 - t$

$S = \frac{a^3(3-a)^2}{6} = \frac{a^3 (9 - 6a + a^2)}{6} = \frac{a^3(9 - 6a + 12 - t)}{6} = \frac{a^3(21-6a-t)}{6}$

$0 < a < 3$ であるため、$t = 12 - a^2$ の範囲は $3 < t < 12$

$S = \frac{a^3(3-a)^2}{6}$

$\frac{dS}{da} = \frac{1}{6} [3a^2(3-a)^2 + a^3 \cdot 2(3-a)(-1)] = \frac{1}{6} [3a^2(3-a)^2 - 2a^3(3-a)] = \frac{1}{6} [3a^2(9-6a+a^2) - 6a^3 + 2a^4] = \frac{1}{6} [27a^2 - 18a^3 + 3a^4 - 6a^3 + 2a^4] = \frac{1}{6}[5a^4 - 24a^3 + 27a^2] = \frac{a^2}{6} [5a^2 - 24a + 27] = \frac{a^2}{6} (5a-9)(a-3)$

$\frac{dS}{da} = 0$ となるのは $a=0, a = 3, a = \frac{9}{5}$

$0 < a < 3$ より $a = \frac{9}{5}$

$\frac{dS}{da}$ の符号は、 $a= \frac{9}{5}$ で正から負に変わるので、 $a= \frac{9}{5}$ で $S$ は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) 曲線 $D$ の方程式: $y = (x-a)^2(x-a+3)$

(2) $a$ の範囲: $0 < a < 3$

(3) 面積 $S$: $S = \frac{a^3(3-a)^2}{6}$

(4) $a$ の値: $a = \frac{9}{5}$