与えられた二つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\}$

2. 解き方の手順

(1) まず、$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$を計算します。

$x \to -\infty$のとき、$2^x \to 0$であり、$2^{-x} \to \infty$です。したがって、分子と分母を$2^{-x}$で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^x/2^{-x} - 2^{-x}/2^{-x}}{2^x/2^{-x} + 2^{-x}/2^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$

$x \to -\infty$のとき、$2^{2x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

(2) 次に、$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\}$を計算します。

対数の性質を用いて、引き算を割り算に変換します。

$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\} = \lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{x^2 + 4}{2x^2})$

$\lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{x^2 + 4}{2x^2}) = \lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{1 + 4/x^2}{2})$

$x \to \infty$のとき、$4/x^2 \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \log_2(\frac{1 + 4/x^2}{2}) = \log_2(\frac{1 + 0}{2}) = \log_2(\frac{1}{2}) = \log_2(2^{-1}) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = -1$

(2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\} = -1$